设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.

 

证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见下面我来证明第二点.

  \begin{align*}

    \overline{X}\subseteq Y\Rightarrow

    \overline{\overline{X}}\subseteq \overline{Y}\Rightarrow

    \overline{X}\subseteq \overline{Y}

  \end{align*}

  由于$Y$是闭集,因此

  \begin{align*}

    \overline{Y}=Y

  \end{align*}

即

\begin{align*}

  \overline{X}\subseteq Y

\end{align*}